三、习题解答

（A）

1．已知随机变量X服从0-1分布，并且P{X≤0}=0.2，求X的概率分布．

解 X只取0与1两个值，P{X=0}=P{X≤0}-P{X＜0}=0.2, P{X=1}=1-P{X=0}=0.8.

2．一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布．

解 X可以取0,1,2三个值．由古典概型概率公式可知

依次计算得X的概率分布如下表所示：

3．上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布．

解 X的取值仍是0,1,2．每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4，且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有

4．第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取到优质品为止，求抽取次数X的概率分布．

解 X可以取1,2, …可列个值．且事件{X=m}表示抽取m次前m-1次均未取到优质品且第m次取到优质品，其概率为．因此X的概率分布为

5．盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布：

（1）抽取次数X；

（2）取到的旧球个数Y.

解 （1）X可以取1,2,3,4各值，则有

（2）Y可以取0,1,2,3各值．

P{Y=0}=P{X=1}=0.75，

P{Y=1}=P{X=2}≈0.2045，

P{Y=2}=P{X=3}≈0.0409，

P{Y=3}=P{X=4}≈0.0045.

6．上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X的概率分布．

解 X可以取0,1,2,3各值，则有

7．将3人随机地分配到5个房间去住，求第一个房间中人数的概率分布和分布函数．

解 用X表示第一个房间中的人数，则其可能的取值为0,1,2,3．分别算得

故X的分布函数为

8．袋中装有n个球，分别编号为1,2, …, n，从中任取k（k≤n）个，求取出的k个球最大编号的概率分布．

解 用X表示k个球的最大编号，则X可能的取值为k, k+1, …, n．考虑随机事件{X=l}，总样本点数为，若k个球的最大编号是l，编号是l的球一定被取出，剩下k-1个球从编号为1,2, …, l-1的l-1个球中取，共种取法，所以随机事件{X=l}所包含的样本点数为，由古典概型概率公式得

9．已知P{X=n}=pn, n=2,4,6, …，求p的值．

解 由题意可知

解得

10．已知P{X=n}=cn, n=1,2, …,100，求c的值．

解 由题意可知

解得

11．已知 , …，且λ＞0，求常数c.

解 由题意知

由于

所以有

解得

12．某人任意抛硬币10次，写出出现正面次数的概率分布，并求出现正面次数不小于3及不超过8的概率．

解 用X表示抛10次出现正面的次数，则X可能的取值为0,1,2, …,10.

13．甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：

（1）二人投篮总次数Z的概率分布；

（2）甲投篮次数X的概率分布；

（3）乙投篮次数Y的概率分布．

解 设事件Ai（i=1,3,5, …）表示“在第i次投篮中甲投中”, Bj（j=2,4,6, …）表示“在第j次投篮中乙投中”，且A1, B2, A3, B4, …相互独立．

14．一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布（不计其他因素停车）.

解 X可以取0,1,2,3,4，分别得到

P{X=0}=0.4, P{X=1}=0.6 × 0.4=0.24，

P{X=2}=0.6 2 × 0.4=0.144，

P{X=3}=0.6 3 × 0.4=0.0864，

P{X=4}=0.6 4=0.1296.

15．已知

问f（x）是否为密度函数．若是，确定a的值；若不是，说明理由．

解 如果f（x）是密度函数，则f（x）≥0，因此a≥0，但是，当a≥0时，

由于不等于1，因此f（x）不是密度函数．

16．某种电子元件的寿命X是随机变量，概率密度为

3个这种元件串联在一个线路上，计算这3个元件使用了150h后仍能使线路正常工作的概率．

解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作．而3个元件的寿命是3个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则

17．设随机变量X～f（x）, f（x）=Ae-|x|．试确定系数A并计算P{|X|≤1}.

解得，故

18．设X的概率密度为

（1）确定常数c；（2）计算; （3）写出分布函数．

解（1）解得.

（3）当x≤-1时，F（x）=0；当x≥1时，F（x）=1；当-1＜x＜1时，

19．设X的概率密度为

（1）确定常数c；（2）计算; （3）写出分布函数．

故c=1π.

（3）当x≤-1时，F（x）=0；当x≥1时，F（x）=1；当-1＜x＜1时，

20．设连续型随机变量X的分布函数F（x）为

（1）确定系数A; （2）计算P{0≤X≤0.25}; （3）求概率密度f（x）.

解（1）连续型随机变量X的分布函数是连续函数，F（1）=F（1-0），则有A=1.

（2）P{0≤X≤0.25}=F（0.25）-F（0）=0.5.

21．随机变量X的分布函数F（x）为

试确定常数A的值并计算P{0≤X≤4}.

解 由F（2+0）=F（2），可得，故A=4，且

P{0≤X≤4}=P{0＜X≤4}=F（4）-F（0）=0.75.

22．设X的分布函数为

（1）确定常数A; （2）计算P{|X|＜2}; （3）求概率密度f（x）.

解 （1）由F（0+0）=F（0），可得0=A-1，故A=1.

（2）P{|X|＜2}=F（2）-F（-2）=1-e-4.

23．设X的分布函数为

F（x）=A+Barcta nx, -∞ ＜x＜+∞.

（1）确定常数A, B; （2）计算P{|X|＜1}; （3）求概率密度f（x）.

解 （1） ，可得

24．设X的概率密度为

f（x）=Ae-|x|, -∞＜x＜+∞.

（1）确定常数A; （2）求分布函数f（x）; （3）计算X落在（0,1）内的概率．

解 （1）由第17题，有.

（3）当x＜0时，有

当x≥0时，有

故

25．随机变量 ，试确定A的值并求分布函数F（x）.

解 ，因此，所求分布函数为

26．随机变量X～f（x），其中

试确定a的值并求分布函数F（x）.

因此a=π．当0＜x＜π时，有

27．随机变量X的分布函数为

求X的概率密度，并计算

解 当x≤0时，X的概率密度为f（x）=0；当x＞0时，

故

28．某公共汽车站，每隔8分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客到达汽车站后候车时间不超过3分钟及至少5分钟的概率．

解 用X表示乘客到达汽车站后候车时间，则X～U（0,8）.X的分布函数为

29．设ξ～U（0,10），求方程x 2+ξx+1=0有实根的概率．

解 ξ的分布函数为

方程x2+ξx+1=0当ξ2-4≥0时有实根，故

30．一批产品中有15%的次品，逐个进行返样抽取检查，共抽取20个样品，问取出的20个样品中最可能有几个次品，并求相应的概率．

解 用X表示抽取20个样品中的次品的件数，由于（20+1）×0.15=3，则取出的20个样品中最可能有3个次品，且

31．在1000件产品中含有15件次品，现从中任取6件产品，分别求其中恰含有2件次品和不含次品的概率．

解 用X表示抽取的6件产品中次品的件数，次品率为0.015，故X近似地服从二项分布B（6,0.015），

32．电话交换台每分钟接到呼唤的次数服从泊松分布P（3），求一分钟内接到4次呼唤、不超过5次呼唤和至少3次呼唤的概率．

解 用X表示每分钟接到的呼唤次数，则X服从泊松分布P（3），即有

查表得

33．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有1个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率．

解 设一页书上印刷错误为X,4页中没有错误的页数为Y，依题意有

P{X=1}=P{X=2}，

即

解得λ=2，即X服从λ=2的泊松分布．

每页上没有印刷错误的概述是

p=P{X=0}=e-2，

显然Y～B（4, e-2），故

P{Y=4}=p4=e-8.

34．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有1只老鼠的概率为有2只老鼠的概率的2倍，求粮仓内无鼠的概率．

解 设X为粮仓内老鼠数目，依题意有

P{X=1}=2P{X=2}，

即

解得λ=1, P{X=0}=e-1.

35．上题中条件不变，求10个粮仓内有老鼠的粮仓不超过2个的概率．

解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓的数目为Y，则Y～B（10, p），其中

p=P{X＞0}=1-P{X=0}=1-e-1, q=e-1.

P{Y≤2}=P{Y=0}+P{Y=1}+P{Y=2}=e-8（36e-2-80e-1+45）.

36．随机变量X服从参数为0.7的0-1分布，求X2, X2-2X的概率分布．

解 X2仍服从0-1分布，且

P{X2=0}=P{X=0}=0.3，

P{X2=1}=P{X=1}=0.7.

X2-2X的取值为-1与0，则

P{X2-2X=0}=P{X=0}=0.3，

P{X2-2X=-1}=1-P{X=0}=0.7.

37．设X的概率分布为

求3X+2和2X2-1的概率分布．

解 P{3X+2=-1}=P{X=-1}=0.1，

P{3X+2=2}=P{X=0}=0.2，

P{3X+2=5}=P{X=1}=0.3，

P{3X+2=17}=P{X=5}=0.4.

P{2X2-1=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.4，

P{2X2-1=-1}=P{X=0}=0.2，

P{2X2-1=49}=P{X=5}=0.4.

38．从含有3件次品的12件产品中任取3件，设其中次品数为X，求2X+1的概率分布．

解 X可能的取值为0,1,2,3，则有

39．已知 , Y=lgX，求Y的概率分布．

解 Y的取值为±1, ±2, …，则

40.X服从[a, b]上的均匀分布，Y=aX+b, （a≠0），求证Y也服从均匀分布．

证明 X的密度函数为

Y的密度函数为

当a＞0时，有

当a＜0时，有

41．随机变量服从 上的均匀分布，Y=cosX，求Y的概率密度．

解 显然y=cosx在 上单调，在（0,1）上有

因此

42．随机变量服从（0,1）上的均匀分布，Y=eX, Z=|lnX|，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY（y）及fZ（z）.

解 y=ex在（0,1）内单调，x=lny可导，且，因此有

在（0,1）内，lnx＜0, |lnx|=-lnx单调，且 ，因此有

43．设X服从参数λ=1的指数分布，求的概率密度fY（y）及Z=X 2的概率密度fZ（z）.

解 在[0, +∞）上单调，x=y2（0≤y＜+∞）, ．根据题意有

因此有

z=x2在[0, +∞）上单调 ，因此有

44．随机变量X～f（x），当x≥0时 ，分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY（y）及fZ（z）.

解 由于y=arctanx是单调函数，其反函数是 在 内不恒为零，因此，当时，有在x＞0时也是x的单调函数，其反函数为 ，因此当z＞0时，

即Y服从区间 上的均匀分布．

即与X同分布．

45．一个质点在半径为R、圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动．求该质点横坐标X的概率密度fX（x）.

解 如图2.1所示，设质点在圆周位置为M，弧的长记为L，显然L是一个连续型随机变量，L服从[0, πR]上的均匀分布．

M点的横坐标X也是一个随机变量，它是弧长L的函数，且

函数x=Rcos（l/R）是l的单调函数（0＜l＜πR），其反函数为

当-R＜x＜R时，l＇x≠0，此时有

当x≤-R或x≥R时，fX（x）=0.

46．设X～N（3,4），求：

（1）P{X≤2.5}; （2）P{X＞1.3}; （3）P{1≤X≤3.5}；

（4）P{|X|＞2.8}; （5）P{|X|＜1.6}; （6）P{X-2＞5}.

47．随机变量X～N（μ, σ2），若P{X＜9}=0.975, P{X＜2}=0.062，试计算μ和σ2的值并求P{X＞6}.

查表得

解关于μ和σ的方程组，得

μ=5.08,σ=2.

故

P{X＞6}=1-P{X≤6}=1-Φ（0.46）=0.328.

48．已知随机变量X～N（10,22）, P{|X-10|＜c}=0.95, P{X＜d}=0.023，试确定c和d的值．

解 查表得 .

查表得 .

49．假定随机变量X服从正态分布N（μ, σ2），确定下列各概率等式中a的数值：

（1）P{μ-aσ＜X＜μ+aσ}=0.9；

（2）P{μ-aσ＜X＜μ+aσ}=0.95；

（3）P{μ-aσ＜X＜μ+aσ}=0.99.

解

（1）2Φ（a）-1=0.9, Φ（a）=0.95, a=1.64；

（2）2Φ（a）-1=0.95, Φ（a）=0.975, a=1.96；

（3）2Φ（a）-1=0.99, Φ（a）=0.995, a=2.58.

50．设X～N（160, σ2），如要求X落在区间（120,200）内的概率不小于0.8，则应允许σ最大为多少？

查表得Φ（1.28）≈0.9，于是可得．故σ最大约为31.

51．设一节电池使用寿命X～N（300,352），求：

（1）使用250h后仍有电的概率；

（2）满足关系式P{|X-300|＜d}=0.9的数值d；

（3）满足关系式P{X＞c}=P{X＜c}的数值c.

52．设某班有40名同学，期末考试成绩X～N（375,81），假设按成绩评定奖学金，一等奖学金评4人，二等奖学金8人，问至少得多少分才能得到一、二等奖学金？

解 假设分别至少得分为a和b，才能得到一、二等奖学金．

（B）

1．设随机变量X的概率密度为f（x），且f（-x）=f（x）.F（x）是X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）.

C.F（-a）=F（a）；

D.F（-a）=2F（a）-1.

解 ，

由于

所以

即

所以有

B为正确答案．

2．设F1（x）与F（x2）分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，a, b的值应取（ ）.

解 由分布函数的性质，应有

所以A为正确答案．

3．设随机变量X服从正态分布N（μ, σ2），则随σ的增大，概率P{|X-μ|＜σ}（ ）.

A．单调增大；

B．单调减小；

C．保持不变；

D．增减不定．

解 由正态分布的标准化变换得

所以概率P{|X-μ|＜σ}的大小与σ无关．C正确．

4．设随机变量X服从正态分布N（μ1, θ21），随机变量Y服从正态分布N（μ2, θ22），且P{|X-μ1|＜1}＞P{|Y-μ2|＜1}，则必有（ ）.

A.θ1＜θ2；

B.θ1＞θ2；

C.μ1＜μ2；

D.μ1＞μ2.

解 因为θi＞0（i=1,2），由正态分布的标准化变换有

所以A正确．

5．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2, …, X中任取一个数，记为Y，求P{Y=2}.

解 显然，随机变量X能取1,2,3,4这4个值，由于事件{X=1}, {X=2}, {X=3}，{X=4}构成完备事件组，且，则有条件概率

所以由全概率公式得

6．设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布，每个顾客购买某种商品的概率为p，并且每个顾客是否购买该种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y的概率分布．

解 由题意得

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，随机变量Y的条件分布为二项分布B（m, p），即

由全概率公式得

7．设X是只取自然数为值的离散随机变量．若X的分布具有无记忆性，即对任意自然数n与m，都有

P{X＞n+m|X＞m}=P{X＞n}，

则X的分布一定是几何分布．

解 由无记忆性知

或

P{X＞n+m}=P{X＞n}·P{X＞m}.

若把n换成n-1仍有

P{X＞n+m-1}=P{X＞n-1}·P{X＞m}.

上两式相减可得

P{X=n+m}=P{X=n}·P{X＞m}.

若取n=m=1，并设P{X=1}=p，则有

P{X=2}=p（1-p）.

若取n=2, m=1，可得

P{X=3}=P{X=2}·P{X＞1}=p（1-p）2.

若令P{X=k}=p（1-p）k-1，则由归纳法可推得

P{X=k+1}=P{X=k}·P{X＞1}=p（1-p）k, k=0,1, …，

这表明X的分布就是几何分布．

8．假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布．（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率Q.

解 发生故障的次数N（t）是一个随机变量，且N（t）服从参数为λt的泊松分布，即

（1）相继两次故障之间时间间隔T是非负连续型随机变量，所以，当t＜0时，分布函数为F（t）=P{T≤t}=0；当t≥0时，{T＞t}与{N（t）=0}等价，于是有

F（t）=P{T≤t}=1-P{T＞t}=1-P{N（t）=0}=1-e-λt，

即

因此，随机变量T服从参数为λ的指数分布．

9．设随机变量X的概率密度为

F（x）是x的分布函数，求随机变量Y=F（X）的分布函数G（y）.

解 对X的概率密度积分得X的分布函数

当y≤0时，有

G（y）=P{Y≤y}=P{F（X）≤y}=0，

当y≥1时，有

G（y）=P{Y≤y}=P{F（X）≤y}=1，

当0＜y＜1时，有

或

于是，Y=F（X）的分布函数为

即Y=F（X）服从区间[0,1]上的均匀分布．

10．假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Y=min{X, k}的分布函数（k为一常数，k＞0）.

解 由题设条件

所以

FY（y）=P{Y≤y}=P{m in{X, k}≤y}.

当y＜0时，有

当0≤y＜k时，有

当y≥k时，有

FY（y）=P{Y≤y}=P{m in{X, k}≤y}=1.

所以Y的分布函数为