0.2 连续和离散

连续信号是指在自变量的连续变化范围内都有定义的信号。实际系统中存在的绝大多数物理过程或物理量，都是在时间和幅值上连续的量，这类连续信号称为模拟信号。处理连续信号的系统是连续系统。

离散信号是指仅在一系列分离的时间点k（k是整数，k=0，±1，±2，…）上才有取值的一种信号，也称离散时间序列。处理离散信号的系统是离散系统。

微积分是处理连续函数的运算，包括导数和积分，分别用于测量函数的变化率和函数图形下的面积或体积。有了导数和积分，可引入微分方程来描述动态系统。

而处理离散时间序列，只需要采用有限运算，因此求导和积分被差分和累加取代，而微分方程则由差分方程取代。

0.2.1 连续表示和离散表示

物质世界里存在的现象一般可用模拟信号来模拟，如果要对模拟信号进行数字处理，首先需要通过取样将连续信号离散化，再进行量化和编码。将连续信号变成离散信号的常用方法是等间隔或不等间隔进行周期取样。

如图0-2所示，对连续信号f（t）进行等间隔采样得到

式中，T称为取样周期。

只要取样周期T足够小，可用取样值来描述任一个连续函数。当取样间距小到0，则取样函数f（kT）与被取样函数f（t）相等，当取样间隔不为0，只要根据采样定理即可保证任意模拟信号能由它的采样信号恢复。

通常将常数T省略，则离散信号用f（k）表示。

例如，以T=0.1s对正弦信号f（t）=sin（2πt）周期采样得到的正弦序列如图0-3所示。正弦序列的表达式为

f（k）=sin（2πkT）=sin（0.2πk）

0.2.2 导数和差分

连续时间信号f（t）的导数为

表示连续信号的变化率。

对离散信号，可用两个相邻序列值的差值代替Δf（t），用相应离散时间之差代替Δt，即

得到

或

这种运算称为差分。式（0-3）称为前向差分，式（0-4）称为后向差分，它们都表示离散信号的变化率。

0.2.3 积分和累加

连续时间信号f（t）的积分为

表示信号f（t）的波形在（–∞，t）区间上所包含的净面积。

在离散信号中，最小间隔Δτ就是一个单位时间，即Δτ=1，定义离散积分的运算为

这种运算又称为离散信号的累加。

0.2.4 微分方程和差分方程

微分方程表征连续时间系统的动态特性，即系统对输入信号的响应方式。不同类型的系统，其微分方程的形式也不同。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。例如电路系统的分析。

如图0-4所示的电路系统，回路电流i（t）和电压源f（t）的关系可用如下的微分方程描述

微分方程的解是一个符合方程的函数。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用计算机来找到其数值解。

差分方程又称递推关系式，是含有未知函数及其差分的方程。满足该方程的函数称为差分方程的解。

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出其近似的解。

例如dy+ydt=0，y（0）=1是一个微分方程，t取值为[0，1]，此微分方程的解为y（t）=e–t。要实现微分方程的离散化，可以把t的区间分割为许多小区间[0，1/n]，[1/n，2/n]，…，[（n–1）/n，1]。

这样上述微分方程可以离散化为差分方程，即

y（（k+1）/n）–y（k/n）+y（k/n）·（1/n）=0，k=0，1，2，…，n–1

利用y（0）=1的条件，以及上面的差分方程，可以计算出y（k/n）的近似值。