2.2　逆矩阵

在第2章2.1节中我们看到，矩阵与实数有类似的运算，比如有加、减、乘运算，特别是对于一个非零实数a（也可视为一阶方阵），它的倒数（或称为a的逆）a-1满足aa-1=a-1a=1.在矩阵的乘法运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1.对于矩阵A，是否也存在一个矩阵A-1，使得AA-1=A-1A=E呢？如果存在这样的矩阵A-1，就称矩阵A为可逆矩阵，并把矩阵A-1称为A的逆矩阵.下面给出可逆矩阵及其逆矩阵的定义，并进一步探讨矩阵可逆的条件及求逆矩阵的方法.

2.2.1　逆矩阵的概念

定义8　对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=E，

则称矩阵A为可逆矩阵（简称A可逆或A是可逆的），并称矩阵B为A的逆矩阵.

如果矩阵A是可逆的，并且矩阵B是A的逆矩阵，则B是唯一的.事实上，如果矩阵C也是A的逆矩阵，AC=CA=E，则有

C=EC=（BA）C=B（AC）=BE=B

所以，A的逆矩阵是唯一的.既然A的逆矩阵是唯一的，我们就把A的逆矩阵记为A-1.当然由定义8易知A=B-1，A与B互为逆矩阵.

由定义8易知，单位矩阵E的逆矩阵是E.

2.2.2　矩阵可逆的充分必要条件

从定义8可以看出，只有方阵才有可能存在逆矩阵，那么，满足什么条件的方阵存在逆矩阵呢？下面的定理回答了这个问题.

定理2　矩阵A可逆的充要条件是｜A｜≠0，并且.

证明　由本章定理1知，对于任意的n阶方阵A，有AA*=A*A=｜A｜E，当｜A｜≠0时，AA*=A*A=｜A｜E的两边同乘，得

由定义8知，矩阵A可逆，且.

反之，若A可逆，那么存在A-1，使得AA-1=A-1A=E，两边取行列式，得

｜A｜｜A-1｜=｜E｜=1.

因而｜A｜≠0.

当｜A｜≠0时，也称矩阵A是非退化的，或是非奇异的.因此，定理2也可表述为矩阵A可逆的充要条件为A是非退化的.

定理2不仅给出了判断矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的方法，只不过当矩阵的阶数较大时，计算量非常大，在后面我们还会介绍求逆矩阵的另一方法.

2.2.3　逆矩阵的性质

可逆矩阵有以下几个主要性质.

性质1　若AB=E（或BA=E），则B=A-1.

证明　由AB=E得，｜A｜｜B｜=｜E｜=1，故｜A｜≠0，因而A可逆，于是

B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1.

性质2　若矩阵A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A.

证明　若矩阵A可逆，则存在A-1，使得AA-1=A-1A=E，由定义8知，矩阵A是A-1的逆阵，即（A-1）-1=A.

性质3　若矩阵A可逆，数λ≠0，则λA也可逆，且（λA）-1=λ-1A-1.

证明　事实上，（λA）（λ-1A-1）=（λλ-1）（AA-1）=E，所以（λA）-1=λ-1A-1.

性质4　若矩阵A、B为同阶方阵，且都可逆，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1.

证明　因为（AB）（B-1A-1）=A（BB-1）A-1=A（E）A-1=AA-1=E，所以有

（AB）-1=B-1A-1.

性质5　若矩阵A可逆，则AT、A*也可逆，且（AT）-1=（A-1）T，（A*）-1=（A-1）*.

证明　因为AT（A-1）T=（A-1A）T=ET=E，所以（AT）-1=（A-1）T.因为AA*=A*A=｜A｜E，所以.又因为，所以又有，于是（A*）-1=（A-1）*.

从性质5的证明过程已得到了下面的性质6.

性质6　若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆，且.

例10　求矩阵

的逆矩阵.

解　易知｜A｜=1≠0，所以矩阵A可逆.而容易得到A的伴随矩阵为

所以

例11　设A是3阶方阵，，计算｜（3A）-1-2A*｜.

解　因为，所以.从而

例12　已知AX=2X+B，求矩阵X.其中，.

解　将方程AX=2X+B改写为（A-2E）X=B，，｜A-2E｜=-1，易求得，故

方程（A-2E）X=B两边同时左乘（A-2E）-1得

例13　设三阶方阵A的逆矩阵为

求A的伴随矩阵A*的逆矩阵.

解　由性质5知，（A*）-1=（A-1）*，

而，所以.