1.1　行列式的定义

1.1.1　二阶行列式和三阶行列式

行列式是由解线性方程组而引出的一个概念，因此先讨论二元和三元线性方程组的求解公式，由此给出二阶和三阶行列式的定义.

　　 求解二元线性方程组 　　 　　 （1）

用消元法解此线性方程组得到

（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2，

（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21

当a11a22-a12a21≠0时，方程组（1）有唯一解

　　 （2） 　　

可以看到，（2）式中的分子和分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为了便于记忆，引入二阶行列式的概念.

将四个数排成两行两列，记

　　 （3） 　　

称式（3）左边为二阶行列式，右边的式子为二阶行列式的展开式.数aij（i=1，2；j=1，2）称为这个行列式的元素或元.元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二下标j称为列标，表明该元素位于第j列.

二阶行列式的定义可采用对角线法则来记忆。参见图1.1，把a11到a22的实连线称为主对角线，a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积所得的差.

由二阶行列式的定义，（2）式中的分子也可用二阶行列式表示，即

若记

那么（2）式可写成

　　 （4） 　　

注意这里的D是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式，称为方程组（1）的系数行列式.D1是用常数项b1、b2替换D中第一列元素a11、a21所得的二阶行列式，D2是用常数项b1、b2替换D中第二列元素a12、a22所得的二阶行列式.

例1　用行列式解线性方程组.

解　由于，，.因此

类似地，对于三元一次线性方程组

　　 （5） 　　

利用消元法也可以得到它的求解公式，但要记住这个公式是很困难的，为了便于记忆，引入三阶行列式的概念.

将九个数排成三行三列，记

　　 （6） 　　

称式（6）左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式.

上述定义表明三阶行列式的展开式中共有6项，每项为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示对角线法则：图中三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上的三元素乘积冠正号，虚线上的三元素乘积冠负号.

例2　用对角线法则计算行列式.

解　　D=1×5×9+（-2）×（-6）×7+（-4）×（-8）×3-1×（-6）×（-8）-（-2）×（-4）×9-3×5×7

　　=45+84+96-48-72-105=0.

若记

则容易验证三元一次方程组（5）的解为

1.1.2　逆序数与对换

定义1　由1，2，…，n按某种次序排成一排，称其为这n个数的一个全排列，简称排列.如果这n个数按自然数次序由小到大进行排列，则称其为标准排列.

定义2　在n个数1，2，…，n的一个全排列中，若某两个数的前后次序和标准排列不一致，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为τ.

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

例3　求排列34152的逆序数.

解　构成逆序的数对为31，32，41，42，52，所以τ（34152）=5.

设i1i2…in是1，2，…，n的一个全排列，由上例可得出计算排列i1i2…in的逆序数的一个方法：

定义3　将一个排列中的某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换.

定理1　任意排列经过一次对换后必改变其奇偶性.

例如，经过1，3两数对换，偶排列15432变成奇排列35412.

1.1.3　n阶行列式的定义

利用逆序数的概念，二阶和三阶行列式的定义可以写成

其中，p1p2是1，2的一个排列，τ是该排列的逆序数，∑表示对1，2的所有排列（共2！个）求和.

其中，p1p2p3是1，2，3的一个排列，τ是该排列的逆序数，∑表示对1，2，3的所有排列（共3！个）求和.

类似二阶和三阶行列式的定义，可以定义n阶行列式.

定义4　设有n2个数，排成n行n列，记

　　 （7） 　　

其中，p1p2…pn为自然数1，2，…，n的一个排列，τ为这个排列的逆序数，∑表示对1，2…，n的所有排列（共n！个）求和.称式（7）左边为n阶行列式，右边的式子为n阶行列式的展开式.称aij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）为n阶行列式的元素，它位于行列式的第i行第j列.

n阶行列式的展开式中共有n！项，其中每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积.n阶行列式简记为det（aij）或｜aij｜.

例4　证明

（1）主对角线行列式

（2）上三角形行列式

（3）下三角形行列式

（4）次对角线行列式

下面只证（2）、（4），（1）、（3）作为练习.

证明　（2）因为D中可能不为0的项只有一项（-1）τa11a22…ann，此项符号（-1）τ=（-1）0=1，所以D=a11a22…ann.

（4）因为D中可能不为0的项只有一项，即（-1）τa1a2…an，而，所以.

在行列式的定义中，行列式展开式中每一项的n个元素的乘积是按行标的自然顺序排列的.由于数的乘法是可交换的，因此这n个元素的乘积次序是可以任意排列的，比如说可以写成，其中，i1i2…in是行标的一个排列，j1j2…jn是列标的一个排列，下面我们来说明，该项前面所冠的符号为.

事实上，交换中任两个因子后，τ（i1i2…in）和τ（j1j2…jn）的奇偶性同时改变，从而t（i1i2…in）+t（j1j2…jn）的奇偶性不变.由此可见，若经一系列因子的交换过程，将变成，应有

特别的，当经若干次因子交换变为时，就有

即，于是，n阶行列式的定义又可写成

　　 （8）