4.1　回转薄壳的薄膜应力理论

4.1.1　基本假设及概念

4.1.1.1　基本假设

假定壳体完全弹性，材料具有连续性、均匀性和各向同性。此外，为了使材料力学中对于梁的假设推广应用到壳体，做以下假设使问题简化：

（1）小位移假设

假设壳体受力后，各点位移均远小于厚度。根据此假设，在考虑变形后的平衡状态时，可以忽略高阶微量，利用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

（2）直线法假设

壳体变形前垂直于中面的直线段，在壳体变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面。联系假设（1）可知，变形前后的法向线段长度不变。根据此假设，沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体厚度不变。

（3）不挤压假设

壳体各层纤维变形前后均互不挤压。根据此假设，与壳壁其他应力分量相比，壳壁法向应力可以忽略，应力分析变为平面问题。这一假设仅适用于薄壳。

上述假设实质上是把材料力学中对于梁的假设推广用于壳体。对于薄壁壳体，采用上述假设所得的结果足够精确。

4.1.1.2　基本概念

如图4-2所示，为一典型回转薄壳的中面。为便于开展应力分析，首先介绍与回转薄壳几何特性相关的基本概念。

⟡ 轴对称：轴对称是指壳体的几何形状、约束条件和所受载荷均对称于回转轴。压力容器承压壳体通常可简化为轴对称问题。本章讨论的是满足轴对称条件的回转薄壳。

⟡ 母线：回转壳体的中面是由平面曲线AB绕回转轴OA旋转一周而成，形成中面的平面曲线AB称为母线。

⟡ 经线：通过回转轴做一纵截面与壳体曲面相交所得的交线（如AB'和AB″）称为经线。经线与母线的形状完全相同。

⟡ 法线：通过经线上任意一点M做垂直于经线的直线，称为经线在该点的法线n，法线的延长线必与回转轴OA相交。

⟡ 纬线：作一圆锥面与壳体中面正交，交线叫做“纬线”。过N点做垂直于回转轴的平面与中面相交形成的圆（CND）即为纬线。

⟡ 第一曲率半径R1：中面上任一点M处经线的曲率半径称为该点的第一曲率半径R1，R1=MK1。

⟡ 第二曲率半径R2：通过经线上任一点M的法线做垂直于经线的平面与中面相割形成的曲线EMF，此曲线在M点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R2。第二曲率半径的中心K2落在回转轴上，其长度等于法线段MK2，即R2=MK2。

4.1.2　回转薄壳应力特点

如图4-3所示，当回转壳体承受内压p作用时会发生鼓胀变形，直径增大，故壳体的“环向纤维”伸长，因此壳体纵向截面必定有应力产生，该应力称为环向（周向）应力，用σθ表示。由于壳体两端封闭，在内压p作用下，壳体的“纵向纤维”也伸长，因此壳体横向截面也必定有应力产生，该应力称为轴向（经向）应力，以σm表示。严格地说，在壳体直径增大的同时，壳体曲率发生变化，因此，在壳体厚度方向还存在弯曲应力。但对回转薄壳来说，由于厚度较小，可以忽略厚度方向产生的弯曲应力，认为壳体内仅存在沿厚度均匀分布的正应力（σθ、σm），即处于双向应力状态。

回转薄壳应力分析的任务是确定壳体经向应力σm、环向应力σθ的计算公式。

4.1.3　经向应力计算——区域平衡方程式

分析经向应力时，若采用垂直于轴线的横截面截取回转壳体，则截得的壳体的“厚度”并非真正的厚度，而且不同横截面截取的“厚度”也不同。此处，截面上不仅有正应力，还有剪应力，不便于分析。因此，为了分析任一维度上的经向应力，必须以该纬度的锥底做一圆锥面，其顶点在壳体轴线上，圆锥面的母线长度即为回转壳体曲线在该纬线上的第二曲率半径R2，如图4-4（a）、（b）所示。

圆锥面将壳体分为两部分，取其下部作为研究对象，如图4-4（c）、（d）所示，列z向静力平衡方程。

作用在该部分上的外力（内压）在z向的合力pz：

作用在截面上的应力在z轴上的投影为Nz：

Nz=σmπDδsinθ

根据z向的平衡条件pz=Nz，得：

由图4-4（c）可以看出，D=2R2sinθ，代入上式得：

　　（4-1）

式（4-1）即为回转薄壳在任意纬度经向应力的一般公式，即区域平衡方程式。在该式中，σm为所求点的经向应力，MPa；R2为壳体中面在所求点的第二曲率半径，mm；δ为壳体厚度，mm。

4.1.4　环向应力计算——微体平衡方程式

回转壳体中的环向应力作用在壳体的经向平面内。但在经向截面的不同纬线上，环向应力不同，故无法用经向截面法求解环向应力。

从壳体上截取一个微元体，考察其平衡。由两个相近的经向平面及两个相近的经线正交的圆锥面在回转壳体上截取微元体，如图4-5所示。

由于微元体足够小，可以近似认为其上的应力是均匀的。如图4-6为所截得的微小单元体的受力图。在单元体上下面上作用经向应力σm；内表面作用内压力p，外表面不受力；另外两个与纵截面相应的面上作用环向应力σθ。考察微小单元体的平衡：

内压p在微元体abcd上外力的合力在法线n上的投影pn：

pn=pdl1dl2

bc和ad截面经向应力σm的合力在法线n上投影Nmn：

ab和cd截面上环向应力σθ的合力在法线n上投影Nθn：

根据法线n方向上力的平衡条件pn-Nmn-Nθn=0，得：

因为微小单元体的夹角dθ1与dθ2很小，因此取：

代入，并对各项均除以δdl1dl2，整理得：

　　（4-2）

式（4-2）即为计算回转薄壳在内压p下环向应力的一般公式，即微体平衡方程式。式中，σθ为所求点的环向应力，MPa；R1为回转壳体中面在所求点的第一曲率半径，mm。其他符号含义同前。

4.1.5　轴对称回转壳体薄膜理论的适用范围

在推导区域平衡方程式以及微体平衡方程式时，均以应力沿厚度方向均匀分布为前提。这种情况只有当容器壁面较薄以及与结构连接区域较远时才准确。这种应力与承受内压的薄膜类似，故称为“薄膜理论”。将沿壳体厚度均匀分布的正应力称为薄膜应力。薄膜应力是只有拉、压正应力，没有弯曲正应力的两向应力状态，故薄膜理论又称为“无力矩理论”。只有在不存在弯曲变形或者弯曲变形不大的情况下的轴对称回转壳体，薄膜理论的结果才正确。

在工程上，薄膜理论除了适用于壳体较薄这一条件外，还需满足以下条件：

⟡ 回转壳体曲面在几何上轴对称，厚度无突变，曲率半径连续变化，材料各向同性，且物理性能（弹性模量E和泊松比μ）相同；

⟡ 载荷在壳体曲线上的分布轴对称且连续，若壳体上有集中力作用或壳体边缘处存在边缘力和边缘力矩时，均将产生弯曲变形，薄膜理论不适用；

⟡ 壳体边界的固定形式应为自由支承，若壳体边界的变形受到约束，在载荷作用下将引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无力矩状态；

⟡ 壳体边界力应在壳体曲面的切平面内，在边界上无横剪力和弯矩。

当上述条件不能全部满足时，就不能用薄膜理论分析弯曲时的应力状态。但远离局部区域（如壳体的连接边缘、载荷变化的分界面、容器的支座附件与开孔接管处等）的情况，薄膜理论仍然有效。

对于厚壁回转壳体，其厚度方向的弯曲应力不可忽略，且经向应力、环向应力在厚度方向分布不均匀，故不能用薄膜理论开展应力分析，必须采用有力矩理论。