1.2.2　声学波动方程及一般解

N-S方程（Navier-Stokes Equation）阐释了质量守恒定律的连续方程以及牛顿第二定律的动量方程。

为了推导出声学波动方程，将对连续方程和动量方程施加下面5个假设条件。

（1）无黏性流体：假设声波传播的流体介质是无黏性的。

将无黏性流体条件公式（1-7）代入动量方程（1-11），可以得到欧拉方程：

（1-14）

（2）小扰动量：将压力场和密度场分解为两部分，即在时间和空间上恒定的参考值（）和比参考值小很多的波动值（）。

（3）线性本构关系：利用状态方程，把压力与密度联系起来，如图1-5所示。

在理想气体的某压力与密度组合状态附近，假设线性化的关系为：

（1-15）

其中，数值c2被定义为：

（1-16）

图1-5　理想气体的压力-密度关系以及在参考状态附近的线性化

下文中会得出，数值c对应压力波在流体中传播的速度。

（4）流体宏观静止条件：流体的运动仅限于由压力波动引起的微小扰动。换句话说，流体不存在平均流速，而且声学速度（流体粒子振动速度）比声波传播速度小很多。

（5）对方程的线性化：将小扰动量假设分别代入连续方程和欧拉方程中，对方程进行线性化，并忽略质量源。方程组可以写为如下形式：

（1-17）

（1-18）

上述第一个方程称为波动方程或达朗贝尔方程。第二个方程显示了在不存在分布源项的情况下，流体的加速度与声压的梯度成正比。

通过对N-S方程的线性化，可得到用来描述部分声学波动的达朗贝尔方程。事实上，大部分的声学现象是遵循线性规律的。线性规律意味着物理现象的效果与产生此现象的原因是成一定比例的，而且若干现象之间遵循线性叠加的原则。

波动方程的一维形式为：

（1-19）

可以证明所有写成以下形式的函数均是上述方程的解：

（1-20）

一维波动方程的一般解为两项之和（见图1-6）。其中，第一项表示从左向右传播的声压分布，其在传播过程中信号没有任何变形。由此可以看出这一项在x点或在x+Δ点取值相同，但两点之间存在Δ/c的时间差：

（1-21）

一般解的第二项表示压力分布从右向左地传播：

（1-22）

图1-6　一维波动方程的一般解是两项之和：以速度c向相反方向传播的两个波动量