第二节　数学与普通物理学相关基础

一、数学

（一）数与量及函数

1.数

人类从远古时期的“结绳计数”开始，慢慢地产生“数”的概念。数的本质不因数的表达方式而改变，例如，“正常人每只手有5根手指”，这里是用“5”表达的，把它表述为“正常人每只手有五根手指”或“正常人每只手有伍根手指”，仅是文字符号表达的区别（罗马数字“Ⅴ”也可以表达“5”的概念），并不改变有“5根手指”这个事实。

2.常量与变量

对于某个特定事物，数可以是不变的（例如太阳系中只有1个地球），也可以是可变的（例如地球上生活的人数是可变的）。大小不变的数称为常量（或常数）；大小可变的数称为变量。

3.函数与函数的图形

如果一个变量（因变量）随另一个变量（自变量）的改变而改变，称为两个变量之间有函数关系，一般用符号“f（）”表达函数关系。例如因变量y随自变量x的改变而改变，则函数的表达式为：y = f（x）。

自变量x可以取值的范围用D表示，称为值域。D可以是连续的，也可以是分段的，也可以在不同的节段有不同的函数关系。神经电生理检测的波形为连续函数。

函数可以用图形直观表达，如：y = 2x是最简单的函数之一，用图形则如图2-1a所示。

正弦函数sin（或余弦函数cos，以下均用sin说明）是用途广泛的一类三角函数，分别表示为：y = sin（x）；y = cos（x）。sin 函数具有“周期性”，称为周期函数，用图形表达则如图2-1b和图2-1c所示。

生活中应用的民用交流电（以下简称交流电）即为标准的正弦函数，其自变量x计量单位为时间单位，通常用t表示。周期函数有以下几个重要物理量：

周期：用 T 表达，满足条件 sin（x + nT）= sin（x），n为 0，1，2，3……的自然数。通俗地理解，周期性随时间增加函数值总是重复相同的波形。交流电的T为0.02s。

频率：每秒重复的T个数称为频率，用F表达，单位赫兹，用Hz表达。交流电的频率为50Hz。F 与 T 为倒数关系：F = 1/T（T单位：s）

面积：定义函数在一个值域内的积分为函数的面积，图示方式用图形表示即为函数曲线与横轴包围的阴影部分。如图2-2所示。

对于任意函数，面积的定义均相同。如图2-2所示，a和b曲线形态不同，面积均为函数曲线与基线所包围的面积（可以位于基线上、下方）。这些基本的概念对理解临床神经电生理检测波形是十分重要的。

神经电生理记录的波形是以时间为自变量的函数。

（二）函数的运算

函数计算有许多方法，这些内容非常繁杂。在此仅以图解的方式学习与神经电生理波形分析紧密相关的两个方法：函数的代数和与傅里叶转换。

1.函数的代数和

将数的加减法算式视为省略加号的几个有理数的和。例如：

（-2）+（-5）+（+8）= -2 - 5 + 8 = + 8 - 2 - 5 = 1

用公式表达函数。设有连续函数：

y1 = f1（x）和y2 = f2（x），x值域范围为0～∞；

再设函数：

y = y1 + y2 = f1（x）+ f2（x）；

则当x = x0时（若x取值为时间，则代表某一时刻）

y = f1（x0）+ f2（x0）

则可知，若：

f1（x0）= -1且f2（x0）= 1

则 y = 0

无论f1（x0）和f2（x0）可为任何函数值，计算方法都如此。

鉴于用公式表达理解起来比较困难，此处使用图形方式直观表达函数叠加。

设有函数及运算结果如图2-3所示。

上图中举例两个函数典型的运算结果，多个函数运算同样遵循上述原理。如图2-4所示。

神经电生理检测的正常波形常类似于图中y1等所示的正弦函数。在发生病理改变时，本质上出现了y2、y3所示的变化，最后记录到的波形可能会如 y1 + y2 + y3 所示。可见理解并掌握函数知识对学习电生理原理之重要性。如果从函数表达式角度理解有困难，则记住图2-3和图2-4所表达的“同向波形相加增大；反向波形相互抵消”的“函数代数和”基本原理即可。

2.傅里叶转换

将满足一定条件的某个函数表示为三角函数或者它们的积分的方法称为傅里叶转换（fast Fourier transform，FFT）。由法国数学家傅里叶（Fourier）首先提出而得名。FFT方法可将任何复杂函数分解为无穷多个正弦函数；FFT逆运算可用有限个正弦波近似合成任何一个复杂函数（图2-5）。

FFT是电生理波形分析的最重要方法，设备中FFT的应用对操作者是“透明的”。形象地理解FFT基本原理有助于对采集到的波形进行分解分析，这在病理情况下尤其重要。

（三）矢量

中文的“矢”就是指箭，箭有箭头、箭体，就决定箭不仅有长度，还有方向。矢量的概念就是指所度量的量不仅有大小，而且有方向。矢量在数学中称为向量（有方向的量）。

与矢量相对的概念是标量，即只有大小没有方向的量，标量的代数和可以直接将数值相加，例如三个标量分别为2、3、4时，其代数和为2 + 3 + 4 = 9。但是矢量、、（箭头表示矢量，下方的数值称为矢量的模数）的代数和，只有在三个矢量在三维空间中方向相同时，才有++=；如果矢量方向不同，其运算结果不仅与模数有关，也与方向有关，一般用图形表达矢量的运算较好理解。为了便于理解，这里仅讨论二维平面中的矢量，原理可推广至三维空间，如图2-6所示。

图2-6a中矢量、、具有相同的模数，与方向相反，二者相加模数为0（矢量零，可理解为“失去了”方向）；与具有相同方向，二者相加则模数为二倍的且方向不变。

度量一个已知空间的矢量时，要确定一个矢量数轴。在二维平面中，已知矢量的模数，以及矢量与数轴的夹角共同决定矢量在数轴上的“投影”。在图2-6b中，矢量与矢量数轴夹角为0°，投影矢量最大，即，模数与方向均不改变；矢量与矢量数轴夹角为90°，投影矢量；矢量夹角介于0°～90°，夹角越大投影矢量的模数越小。神经电生理检测时，两个记录电极构成记录矢量可视作图2-6b中数轴x；神经、肌肉的生物电信号同时具有大小（模数）和方向，则可视作图2-6b中矢量、、。

神经电生理检测记录到的波形是信号矢量在记录矢量上投影大小随时间变化的函数。

（四）离散数学

离散数学是现代数学的一个重要分支。与传统数学研究的数不同，离散数学研究的是离散量。涉及神经电生理的离散数学概念主要有“集合”“单位”等。

集合是指将相互独立、可数的元素作为一个整体研究。例如“医生看病”作为一个集合，其中的元素有医生、患者、各种检查报告等等。

单位是指构成某个特定集合或完成某项功能所需最少元素的集合。例如构成“医生给患者看病”这个集合，医生和患者这两个元素是必不可少的，一个“医生看病”单位就必须包括1个医生、1个患者。用离散数学中“单位”概念去理解“运动单位”，将有助于要深入理解神经电生理原理。

二、物理学

（一）力学

力学是现代自然科学各学科的基础。运动神经兴奋传递给肌肉使肌肉收缩产生肌力，肌力也遵循力的一般规律。

1.力

力是自然科学中最早被认识和研究的现象之一。力最基本的性质为既有度量的大小，又有方向。

人们最熟悉的莫过于重力——即地心引力的作用，重力的方向总是与地面垂直向下，重力的大小与物体质量有关。定义：质量1kg的物体具有的重力为9.8N（牛顿，简称牛），N是力的单位。

2.功

力作用于物体使物体移动，这个过程称为力做功。1N的力推动物体、沿力的方向移动1m 所做的功为 1N·m，定义 1N·m = 1J（焦耳，功的单位）。

3.功率

功率定义为力在单位时间内做的功，单位为 W（瓦特，简称瓦），1W = 1J/s = 1（N·m）/s。功率反映做功的“快慢”。

4.能量

能量可简称为能。能量通俗的表述为“能量指具有做功的能力”。所以能量的单位与功的单位相同，都是J（焦耳），能量还有千瓦时、大卡等表达方式。

人们最熟悉的能量有势能和动能，还有电能、磁能（电磁能）以及其他形式的能量。能量不能凭空产生，也不会凭空消失，总是以不同形式能量之间相互转换的方式来体现。这就是能量守恒定律。

例如，一个物体离开地面一定高度后，相对于地面，它就具备了势能（重力势能）；高出地面的物体自由落下产生运动，具有了动能；动能又可以转化为其他形式的能量。

（二）函数与能量

当使用图形方式表达一个物理量随时间变化的函数时，函数曲线与基线包围的面积就代表这个物理量的能量。

神经电生理记录到的波形与基线包围的面积反映了生物电信号所具有的能量。