前言

当今世界，科学技术迅猛发展，人们在享受现代科学技术带来的各种便利时，很少会意识到：很多的科学发现和技术发明，都得益于数学的发展。如何运用数学的思维智慧和理论工具，发现各种现象的本质和事物发展规律，以促进科学技术的进步，无疑是人们在实现让世界变得更加美好的目标时所要面对的重要课题。《科学的数学本质》一书正是在这样的背景下应运而生的，旨在为高等学校本科生和研究生提供一条全面理解和掌握科学研究方法的路径。

本书内容源于作者对科研探索和教学实践的经验的反思。2021年10月，笔者参与了袁健华教授主持的国家自然科学基金面上项目“微纳光学结构设计中若干偏微分方程约束优化问题的数学和算法研究”（项目批准号：12171052）；2023年，笔者承担国家自然科学基金青年项目“单调拓展二阶锥优化及相关问题研究”（项目批准号：12201064）的研究工作。同时，笔者在最优化算法、数学建模与模拟、数学试验等教学中，也融入自己对科学研究获取知识过程的思考。本书另一作者研究了数学在教育、经济等学科的应用，积累了一定的实践经验，也取得了一些科研成果。这些科研成果不仅推动了相关领域的发展，也为本书的编写奠定了坚实的基础。

我们在从事教学与研究工作的过程中，在面对“科学研究方法论”这门课程时有很多困惑。例如，为什么人工智能时代的科学研究更需要数学？在科学研究中，怎样才能发现数学的魅力？为什么从事数学研究才算是挑战“最伟大的人类心灵”？为了深入理解和把握科学研究的实质和精髓，笔者对科学发展史中经典的研究方法进行梳理和反思，力求为读者揭示数学科学研究价值的有关理论和观点，同时阐释数学在科学研究和实际运用中的操作规范和目标方向。

本书首先从科学的产生与发展过程出发，运用历史和逻辑的方法揭示数学是科学研究的先导。本书除了对数学基础理论，如数论、代数、几何学、微积分、拓扑学、概率论和统计学等发展情况进行概括说明外，还通过揭示科学知识发展的内在逻辑，阐释数学在科学理论中的哲学问题。在科学研究的地位方面，数学究竟是科学的工具还是科学的基础？在自然科学中，数学被广泛应用于建模和预测，但数学本身究竟是一种工具，还是科学研究的核心？柏拉图主义的数学实在论、符号体系的形式主义和直觉构造主义的数学哲学流派，各自的特点是什么？为什么数学可以如此有效地描述物理世界？数学解释的成功性是否意味着自然界本质上是数学的？数学是被发现的还是被发明的？解答这些问题有助于更深入地理解科学与数学在描述物理世界时的深层次联系，以及数学在科学哲学中的重要地位。

柏拉图主义的数学实在论的数学哲学观认为，数学是被发现的，因为数学对象和真理被视为客观存在，独立于人类的思想和文化。数学通过研究和探索来揭示早已存在的数学真理。形式主义的数学哲学观认为，数学是被发明的，因为数学对象、符号和规则都是人类创造的。数学知识是通过设计和操作这些符号系统创造的，而不是发现预先存在于某个独立世界中的数学真理。直觉构造主义的数学哲学观认为，只有那些可以在思想上构造出来的数学对象才是有效的，数学对象和命题的存在性必须通过明确的构造方法来证明。这三种哲学观在数学发展中是互补并相辅相成的，其中的相互联系和作用丰富了数学的理论基础和实践应用，推动了科学的进步和创新。通过理解这些哲学观，我们可以更深入地认识数学的本质及其在科学中的核心地位。

虽然哲学在科学的产生与发展过程中具有重要的推动作用，但是这种作用具有一定的局限性。而数学具有特殊的抽象性与普适性，可以通过抽象化将物理现象简化为基本的模式和关系。同时，数学通过一种精确和严格的语言，无歧义地定义物理世界的概念和关系，即通过数学推理从已知的定律和条件出发，推导出新的结果并进行预测。这样，自然界中的规律本身具有内在的数学结构，可以通过实验进行验证。用实验数据来检验模型的准确性，就使得数学在描述和理解物理世界方面极为有效。所以，我们认为：相对于哲学思考，科学通过数学可以实现更大的价值。科学研究不仅需要哲学化，而且必须数学化。科学研究只有通过数学化，才能达到哲学化的最高境界。数学不仅是一种工具，而且是科学理论的基础。通过

数学，人们才能在更高层次上理解自然界、人的思维和社会发展的运动规律，实现科学与哲学的统一。

现代科学的发展，将数学和编程技术结合起来，实现科学研究技术的数学化编程，从而提升科学研究技术的准确性和创新性，用以解决复杂的科学问题。为什么实现人工智能机械化的梦想离不开数学研究？科学研究技术如何进行数学化编程？本书将回答这些问题，以期说明：科学研究技术通过数学化编程，将科学问题转化为数学模型，并通过编程实现模型的计算和仿真，提高研究的准确性和创新性。因为数学提供了科学研究所需的基本工具和方法，能够实现科学研究的系统化、精确化和自动化。可以说，科学研究技术的本质是数学。

数学是科学的本质规定。科学理论的构建依赖于数学的表达和推导。数学模型可以描述现有现象，并预测未观察到的现象，然后通过实验或观察来验证，从而推动科学理论的发展。数学可以揭示自然界中隐藏的关系和规律，数学的发展会促进新理论的产生和发展。因此，数学更是科学理论发展的核心和关键因素。科学不仅是人们认识客观世界的思考方式，更是人们理解、掌握、发现、发明数学本质或规律的内在范式。甚至可以说，一项科学研究成果的价值，只须看其在应用数学方面的创新便一目了然。

本书按照科学研究方法与技术发展的基本规律，通过数学在自然科学、工程技术以及其他学科研究方面的实例，回答数学在科学研究中的以下应用问题：

（1）数学工具应用。哪些数学工具和方法在科学研究中得到应用？这些数学工具如何在不同学科领域应用？如何选择适当的数学方法来解决具体的科研问题？

（2）数据分析与建模。如何利用数学方法进行有效的数据分析？如何建立科学的数学模型来描述和解释实验现象？如何通过数学模型进行预测？

（3）实验设计与优化。如何应用数学理论进行实验设计？如何优化实验方案以提高研究效率和结果的可靠性？如何通过统计分析评估实验结果的有效性？

（4）理论推导与证明。如何运用数学理论进行科学理论推导和证明？如何通过数学方法验证科学假说的合理性？如何构建数学模型来支持科学研究结论？

（5）科学计算与数值模拟。如何利用数学进行科学计算和数值模拟？如何选择和应用数值方法解决复杂科学计算问题？如何分析和解释数值模拟的结果？

（6）跨学科研究的数学应用。如何应用数学解决综合性问题？如何通过数学促进不同学科间研究的合作与创新？如何在跨学科研究中构建统一的数学框架？

解答这些问题，有助于人们理解和掌握科学的数学本质，提升人们的科研创新实践能力。

本书分析了数学之美与科学研究艺术之间的关系，两者相互依存、相互促进，共同推动了科学的进步和创新。数学是科学研究创新之美的发展方向，通过提供精确的工具和方法，揭示了自然界的深层次规律。而数学之美通过简洁、对称和逻辑的形式，展现对自然界的深刻理解和优雅解释。这种辩证关系使得科学研究不仅具有理性的精确性，而且充满了创造性的艺术美感。所以，数学之美是科学研究艺术的本质。

想要理解本书的基本内容，需要掌握数学、物理学、化学、生物学、经济学等学科的基础知识。

数学知识包括：基本微积分，变量微积分（特别是偏导数和多重积分）；线性代数中的向量和矩阵运算，特别是矩阵的对角化、特征值和特征向量，线性变换和线性方程组；微分方程（如常微分方程，尤其是简单一阶和二阶微分方程、线性微分方程和简单的偏微分方程）；复分析（如复数及其基本操作、复变函数）的基础知识。

物理学知识包括：经典力学方面，牛顿力学中的运动定律、万有引力定律、动量守恒和能量守恒等概念；分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学的基础，特别是它们与数学中的变分法的联系。电磁学方面，麦克斯韦方程组中，电场、磁场、电磁波的基本性质；电磁理论中的矢量场、标量场的概念。相对论方面，狭义相对论中，时空的四维结构、质能方程等。广义相对论基础方面，爱因斯坦场方程的基本思想。量子力学方面，波粒二象性中，电子和光子的波动与粒子特性、薛定谔方程及其在微观物理系统中的应用，量子力学中的概率解释、波函数的概念。热力学与统计力学方面，热力学三大定律及其数学表述，微观统计力学与宏观热力学量之间的关系，特别是熵的概念。群论和对称性方面，对称性在物理学中的应用，特别是在粒子物理中的群论应用。规范场论方面，规范不变性和规范场的基本概念，杨-米尔斯场论的基本思想及其数学结构。

除此之外，想要掌握本书的理论观点，还要理解其他学科，如化学、生物学、经济学等基本科学的概念和原理，注意通过科学研究的现象和实验结果深化对知识的直观性理解。掌握以上各学科的基础知识，将有助于理解书中涉及的各个定律的数学描述、自然现象的数学建模，以及科学与数学之间的深层次联系。这些基础知识有助于更深入地理解数学在科学中的应用，以及如何通过数学工具探索和描述客观世界。在学习有关科学概念和原理时，读者可以使用开放课程和在线资源。掌握一定的数学、物理学、生物学、经济学等方面的基础知识，能够为读者掌握数学在现代科学研究中的应用方法打下坚实基础，使读者能够从不同学科的科学研究中进行交叉借鉴和融合参照，进而找到应用点和创新点。

希望本书能够为高等学校师生、科研人员，以及对科学研究方法感兴趣的广大读者，在理解和掌握科学研究方法的基础理论上提供帮助，为培养更多具有创新能力的科技人才贡献力量。

著者

2024年9月