任务一 平面汇交力系的合成
如果作用在物体上各力的作用线都在同一平面内,而且相交于同一点,则该力系称为平面汇交力系。例如,起重机起吊重物时[图3-1(a)],作用于吊钩C的三根绳索的拉力F、FA、FB都在同一平面内,且汇交于一点,组成平面汇交力系[图3-1(b)]。又如图3-2所示的桁架的结点作用有F1、F2、F3、F4四个力,且相交于O点,也构成平面汇交力系。
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图3-1
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图3-2
平面汇交力系的合成可采用几何法和解析法。这里仅讨论以力在坐标轴上的投影为基础的解析法。
一、力在平面直角坐标轴上的投影
如图3-3所示,在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线,得垂足a、b,则线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影,用Fx表示,即Fx=±ab;同理,力F在y轴上的投影Fy=±a′b′。
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图3-3
投影的正负号规定如下:若从起点到终点的方向与轴正向一致,投影取正号;反之,取负号。由图3-3(a)、(b)可知,投影Fx和Fy可用式(3-1)计算:
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式中:α为力F与x轴正向所夹的锐角。力在轴上的投影为代数量,投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦,其正负可根据上述规则直观判断确定。
图3-3(a)、(b)还画出了力F沿直角坐标轴方向的分力Fx和Fy。应当注意的是,力的投影Fx、Fy与力的分力Fx、Fy是不同的,力的投影只有大小和正负,它是标量;而力的分力是矢量,有大小,有方向,其作用效果还与作用点或作用线有关。当Ox、Oy轴垂直时,力沿坐标轴分力的大小与力在轴上投影的绝对值相等,投影为正号时表示分力的指向和坐标轴的指向一致,而当投影为负号时,则表示分力指向与坐标轴指向相反。
【例3-1】 已知F1=100N,F2=50N,F3=60N,F4=80N,各力的方向如图3-4所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。
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图3-4
解:由式(3-1)可求出各力在x、y轴上的投影:
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二、合力投影定理
设刚体受一平面汇交力系F1、F2、F3作用,如图3-5(a)所示。在力系所在平面内作直角坐标系Oxy,从任一点A作力多边形ABCD,如图3-5(b)所示。
图中:=FR。
各分力及合力在x轴上的投影分别为
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由图可知:FR=ad=ab+bc-cd
由此可得
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图3-5
同理,合力与各分力在y轴上的投影关系是
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将上述关系推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系,则有
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即,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。这就是合力投影定理。
三、平面汇交力系的合成
由项目二力的多边形法则可知,平面汇交力系可以合成为通过汇交点的合力,现用解析法求合力的大小和方向。设有平面汇交力系F1、F2、…、Fn,如图3-6(a)所示,在力系所在的平面内任意选取一直角坐标系Oxy,为了方便,取力系的汇交点为坐标原点。应用合力投影定理,即式(3-2)可求合力在正交轴上的投影FRx和FRy。由图3-6(b)中的几何关系,可得出合力FR的大小和方向为
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图3-6
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式中:α为合力FR与x轴所夹的锐角,合力的指向由∑Fx和∑Fy的正负号决定,合力作用线通过力系的汇交点。
【例3-2】 求图3-7所示平面汇交力系的合力。
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图3-7
解:取直角坐标系如图3-7所示,合力FR在坐标轴上的投影为
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因FRx、FRy均为负值,所以FR在第三象限,如图3-7所示。